4 首播(3)
范珏打开一看,是一道很经典的几何题:如图,三角形ABC中,AB=AC,E在AB上,D在AC上,∠BAC=20°,∠DBC=60°,∠ECB=50°,求∠EDB。贴吧经常有人拿这道题来钓鱼,为了装B,他链接上了一个手写板,开始做题。
“给你提供8种方法啊,这道题曾经被大师彭翕成专门写文章分析过,很有意思的一道题。我抽的这本书里好像有,但是我忘掉在那一页了,凭借记忆我来复述一下啊。”
范珏首先画上了一个三角形,把点标明白,把条件标在图上。边说边写,“解法1,直接利用正弦定理,我们得先找到一些关系,角BAC是20度,那么角ABC就是80度,角ECB和角BCE都是50度,也就是说BC=BE。”
范珏用红线描出BC和BE。
“然后我们就利用正弦定理,设角EDB=x啊,sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40,式子列出来了,一个等式一个未知数,解得x=30,旁边写个草稿给你们看看30是怎么解出来的。”
在第一种解法旁边,范珏划拉出一个小地方,写上过程,sin(20+x)=2cos40sinx,然后往下推导,sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx,cos20sinx项抵消,剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx,约掉sin20,剩下tanx=3^(-1/2),x=30。
“第二个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再连接GE。构造出三个等边三角形。”
范珏描出第一个等边三角形。
“非常显然,三角形BCG是一个等腰三角形,然后角DBC是60度,所以三角形BCG是一个等边三角形,就有BE=BC=EG。”
范珏描出第二个等边三角形。
“三角形BFG是个等腰三角形,可以得知角EFG是150度。”
“同时,三角形BCE是个等腰三角形,我们可以得出角CFE是15度,也就是说三角形EFG等腰,EF=EG。”
“三角形BCG等边,三角形DFG和他相似”
第三个等边三角形。
“所以有DF=DG,四边形DFEG是筝形,DE平分角FDG,得出角EDB=1/2角FDB=30度。”
“第三个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再过B做AC的平行线交DF于H,连接EH。构造平行四边形”
范珏把辅助线用虚线连上,再用蓝色笔勾勒出了大平行四边形。再用红笔点出了E点,分别把它和三个角的连线用绿色笔强调。
“里面的构造和第二问是差不多的,我们可以直接用第二问的结论,BE=BC=BG,BH=CD,角EBD=80-60=20度,角EBH=角BDC-角EBD=20度,BE平分角HBD,由角边角,三角形HEB全等于三角形DGC。”
“角BHE=角GDC=40度,角BHD=角DBC=80度,HE平分角BHD,所以得出E点是三角形BDH的内心,也就是三条角平分线的交点,ED平分角FDG,角EDB=30度。”
“第四个方法是在AC上取点K使得角KBC=20度。连接BK,EK。构建出一堆等腰,这个方法可以说是神来之笔,既简洁又简单。”
“三角形ABC相似于三角形BCK,两个都是等腰三角形,BC=BK=BE,角EBK=角EBC-角KBC=60度,三角形BEK为等边三角形。”
“这时候边的关系我们差不多已经梳理完了,把角标上就可以做出来了。”
“那么角EKD=40度,角BDC=180-60-80=40度,角DBK=80-20-20=40度,BK=DK,三角形DKE是等腰三角形,角EDK=(180-40)/2=70度,角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度。”
“下面的东西就难一点了,要用到数学竞赛的想法,我高中时候是搞计算机竞赛的,数竞的东西了解得不多。”
“第五个方法是做E关于CD的对称点H,连接DH,BH,CH。”
“角DCE=80-50=30度,对称过去之后,EC=CH,角ECD=角DCH=30度,角ECH=60度,也就是说三角形ECH为等边三角形。”
“EH=CH,又有BE=BC,四边形BDHE是筝形,BH平分角EHC,则有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度,角DBE=角DBH,B,E,D,H四点共圆。”
范珏描摹出一个圆弧。
“所以角EDB=角EHB=60/2=30度。”
“第六个方法是做角EBC的角平分线交AC于T,连接ET。”
“这个方法比刚才的方法还要抽象一点,主要想法是构造旁心。”
“角EBT=80/2=40度,角EBD=20度,那么有BD平分角EBT,由于BE=BC,边角边,三角形EBT全等于三角形CBT,角ETB=角BTC=180-40-80=60度,角ETD=80度,那么延长一下就可以知道DT是角ETB的外角平分线,所以说D是三角形BET的旁心。”
范珏描出外角平分线的小圆。
“ED平分角AET,角AED=1/2*(180-80)=50度,角EDB=50-20=30度。”
“旁心用了之后,我们自然可以想到用外心,但是这个方法比较极限比较勉强。”
“第七个方法是找出三角形CDE的外心O,连接OE,OD,OB。”
“由外心的性质有OE=OD,由于角ECD=30度,角EOD=60度,三角形OED是等边三角形,OE=OD=ED。”
“下面一步比较玄乎,懂得自然懂,不懂的自己刷6。”
“D在OE中垂线上,BD平分角EOB,如果B不在EO中垂线上,那么EOBD四点共圆,但是角EBO+角EDO=40+60!=180,也就是说这4点不共圆,也就是说B在OE的中垂线上,所以BD就是OE的中垂线,BD平分角ODE,角EDB=1/2角ODE=30度。”
“最后一个方法想的是往外扩展,辅助线比较大气,也比较漂亮,看得也舒服。”
“第八个方法是作C关于AB的对称点F,B关于AC的对称点G,连接三角形AFG,连接EF,DG。构造一个大等边三角形。”
“由于对称的性质,AB=AC=AF=AG,然后角FAG=3*角BAC=60度,三角形AFG是等边三角形。”
“然后我们来想办法证明DEF三点共线。首先,角BFG=角AFB-角AFG=80-60=20度,角EFG=角EFB-角BFG=50-20=30度,即EF平分角AFG。然后再由对称的性质,DG=DB=DA,由等边三角形的性质可知D也在角AFG的中垂线上,那么我们就得到了FED三点共线,角EDB=角FEB-角EBD=角FAE+角AFD-角EBD=20+30-20=30度。”
“完了兄弟们,讲了道题贵宾跑了一半,一看时间一个小时已经过去了,下次不讲了兄弟们。”范珏停笔,拿起水杯。
“别”“就讲这个大家爱看”“再来一节课的”“666666”弹幕都表现出了极高的学习热情。
中奖的兄弟刷了一个告白灯牌上面写着“NB”。
“谢谢兄弟的告白灯牌……这样吧,这本书还是寄给你,这道题算我数学SOLO赢你怎么说,之前定的是SOLO赢我得500,现在只剩一个小时了。这样吧,想打SOLO的加我游戏好友,我拿元歌你随便,地图你挑,你赢了我给你1000,我赢了你给我送个6块钱的血瓶怎么说,我按照段位高低选,优先选厉害的。”
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“给你提供8种方法啊,这道题曾经被大师彭翕成专门写文章分析过,很有意思的一道题。我抽的这本书里好像有,但是我忘掉在那一页了,凭借记忆我来复述一下啊。”
范珏首先画上了一个三角形,把点标明白,把条件标在图上。边说边写,“解法1,直接利用正弦定理,我们得先找到一些关系,角BAC是20度,那么角ABC就是80度,角ECB和角BCE都是50度,也就是说BC=BE。”
范珏用红线描出BC和BE。
“然后我们就利用正弦定理,设角EDB=x啊,sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40,式子列出来了,一个等式一个未知数,解得x=30,旁边写个草稿给你们看看30是怎么解出来的。”
在第一种解法旁边,范珏划拉出一个小地方,写上过程,sin(20+x)=2cos40sinx,然后往下推导,sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx,cos20sinx项抵消,剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx,约掉sin20,剩下tanx=3^(-1/2),x=30。
“第二个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再连接GE。构造出三个等边三角形。”
范珏描出第一个等边三角形。
“非常显然,三角形BCG是一个等腰三角形,然后角DBC是60度,所以三角形BCG是一个等边三角形,就有BE=BC=EG。”
范珏描出第二个等边三角形。
“三角形BFG是个等腰三角形,可以得知角EFG是150度。”
“同时,三角形BCE是个等腰三角形,我们可以得出角CFE是15度,也就是说三角形EFG等腰,EF=EG。”
“三角形BCG等边,三角形DFG和他相似”
第三个等边三角形。
“所以有DF=DG,四边形DFEG是筝形,DE平分角FDG,得出角EDB=1/2角FDB=30度。”
“第三个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再过B做AC的平行线交DF于H,连接EH。构造平行四边形”
范珏把辅助线用虚线连上,再用蓝色笔勾勒出了大平行四边形。再用红笔点出了E点,分别把它和三个角的连线用绿色笔强调。
“里面的构造和第二问是差不多的,我们可以直接用第二问的结论,BE=BC=BG,BH=CD,角EBD=80-60=20度,角EBH=角BDC-角EBD=20度,BE平分角HBD,由角边角,三角形HEB全等于三角形DGC。”
“角BHE=角GDC=40度,角BHD=角DBC=80度,HE平分角BHD,所以得出E点是三角形BDH的内心,也就是三条角平分线的交点,ED平分角FDG,角EDB=30度。”
“第四个方法是在AC上取点K使得角KBC=20度。连接BK,EK。构建出一堆等腰,这个方法可以说是神来之笔,既简洁又简单。”
“三角形ABC相似于三角形BCK,两个都是等腰三角形,BC=BK=BE,角EBK=角EBC-角KBC=60度,三角形BEK为等边三角形。”
“这时候边的关系我们差不多已经梳理完了,把角标上就可以做出来了。”
“那么角EKD=40度,角BDC=180-60-80=40度,角DBK=80-20-20=40度,BK=DK,三角形DKE是等腰三角形,角EDK=(180-40)/2=70度,角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度。”
“下面的东西就难一点了,要用到数学竞赛的想法,我高中时候是搞计算机竞赛的,数竞的东西了解得不多。”
“第五个方法是做E关于CD的对称点H,连接DH,BH,CH。”
“角DCE=80-50=30度,对称过去之后,EC=CH,角ECD=角DCH=30度,角ECH=60度,也就是说三角形ECH为等边三角形。”
“EH=CH,又有BE=BC,四边形BDHE是筝形,BH平分角EHC,则有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度,角DBE=角DBH,B,E,D,H四点共圆。”
范珏描摹出一个圆弧。
“所以角EDB=角EHB=60/2=30度。”
“第六个方法是做角EBC的角平分线交AC于T,连接ET。”
“这个方法比刚才的方法还要抽象一点,主要想法是构造旁心。”
“角EBT=80/2=40度,角EBD=20度,那么有BD平分角EBT,由于BE=BC,边角边,三角形EBT全等于三角形CBT,角ETB=角BTC=180-40-80=60度,角ETD=80度,那么延长一下就可以知道DT是角ETB的外角平分线,所以说D是三角形BET的旁心。”
范珏描出外角平分线的小圆。
“ED平分角AET,角AED=1/2*(180-80)=50度,角EDB=50-20=30度。”
“旁心用了之后,我们自然可以想到用外心,但是这个方法比较极限比较勉强。”
“第七个方法是找出三角形CDE的外心O,连接OE,OD,OB。”
“由外心的性质有OE=OD,由于角ECD=30度,角EOD=60度,三角形OED是等边三角形,OE=OD=ED。”
“下面一步比较玄乎,懂得自然懂,不懂的自己刷6。”
“D在OE中垂线上,BD平分角EOB,如果B不在EO中垂线上,那么EOBD四点共圆,但是角EBO+角EDO=40+60!=180,也就是说这4点不共圆,也就是说B在OE的中垂线上,所以BD就是OE的中垂线,BD平分角ODE,角EDB=1/2角ODE=30度。”
“最后一个方法想的是往外扩展,辅助线比较大气,也比较漂亮,看得也舒服。”
“第八个方法是作C关于AB的对称点F,B关于AC的对称点G,连接三角形AFG,连接EF,DG。构造一个大等边三角形。”
“由于对称的性质,AB=AC=AF=AG,然后角FAG=3*角BAC=60度,三角形AFG是等边三角形。”
“然后我们来想办法证明DEF三点共线。首先,角BFG=角AFB-角AFG=80-60=20度,角EFG=角EFB-角BFG=50-20=30度,即EF平分角AFG。然后再由对称的性质,DG=DB=DA,由等边三角形的性质可知D也在角AFG的中垂线上,那么我们就得到了FED三点共线,角EDB=角FEB-角EBD=角FAE+角AFD-角EBD=20+30-20=30度。”
“完了兄弟们,讲了道题贵宾跑了一半,一看时间一个小时已经过去了,下次不讲了兄弟们。”范珏停笔,拿起水杯。
“别”“就讲这个大家爱看”“再来一节课的”“666666”弹幕都表现出了极高的学习热情。
中奖的兄弟刷了一个告白灯牌上面写着“NB”。
“谢谢兄弟的告白灯牌……这样吧,这本书还是寄给你,这道题算我数学SOLO赢你怎么说,之前定的是SOLO赢我得500,现在只剩一个小时了。这样吧,想打SOLO的加我游戏好友,我拿元歌你随便,地图你挑,你赢了我给你1000,我赢了你给我送个6块钱的血瓶怎么说,我按照段位高低选,优先选厉害的。”
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